Начиная рассуждать о средних величинах, чаще всего вспоминают, как заканчивали школу и поступали в учебное заведение. Тогда по аттестату рассчитывался средний балл: все оценки (и хорошие, и не очень) складывали, полученную сумму делили на их количество. Так вычисляется самый простой вид средней, которая называется средняя арифметическая простая. На практике в статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, структурные средние. Тот или иной их вид используется в зависимости от характера данных и целей исследования.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. Последние используются для характеристики структуры вариационного ряда и будут рассмотрены далее в гл. 8.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 - средней квадратической;

x i - варианты (значения, которые принимает признак);

f i - частоты.

Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).

Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере.

Пример 6.1. Вычислим среднюю заработную плату сотрудников малого предприятия.

Таблица 6.1. Заработная плата работников

№ п/п	Заработная плата, руб.	№ п/п	Заработная плата, руб.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Для расчета среднего размера заработной платы необходимо просуммировать заработную плату, начисленную всем работникам предприятия (т.е. найти фонд заработной платы), и разделить на число работающих:

А теперь добавим в нашу совокупность всего лишь одного человека (директора этого предприятия), но с окладом в 50 000 руб. В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:

Как видим, она превышает 7000 руб., т.д. она больше всех значений признака за исключением одного-единственного наблюдения.

Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в примере 6.1 она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а групповые средние значения.

6.1. Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

При расчете средней заработной платы по данным таблицы примера 6.1 мы сложили все значения признака и поделили на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой

где х i - варианты (отдельные значения признака);

п - число единиц в совокупности.

Пример 6.2. Теперь сгруппируем наши данные из таблицы примера 6.1, т.д. построим дискретный вариационный ряд распределения работающих по уровню заработной платы. Результаты группировки представлены в таблице.

Запишем выражение для вычисления среднего уровня заработной платы в более компактной форме:

В примере 6.2 была применена формула средней арифметической взвешенной

где f i - частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака х i y единиц совокупности.

Расчет средней арифметической взвешенной удобно проводить в таблице, как это показано ниже (табл. 6.3):

Таблица 6.3. Расчет средней арифметической в дискретном ряду

Исходные данные	Расчетный показатель
заработная плата, руб.	численность работающих, чел.	фонд заработной платы, руб.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Итого	20	132 080

Следует отметить, что средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой.

Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения (см. таблицу в примере 6.4). Тогда при расчете средней в качестве x i берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно "закрывают", принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т.д. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего.

Пример 6.3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода.

В приведенной таблице середина первого интервала равна 500. Действительно, величина второго интервала - 1000 (2000-1000); тогда нижняя граница первого равна 0 (1000-1000), а его середина - 500. Аналогично поступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25 000: величина предпоследнего интервала 10 000 (20 000-10 000), тогда его верхняя граница - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, соответственно, - 25 000.

Таблица 6.4. Расчет средней арифметической в интервальном ряду

Среднедушевой денежный доход, руб. в месяц	Численность населения к итогу, % f i	Середины интервалов x i	x i f i
До 1 000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 и выше	10,4	25 000	260 000
Итого	100,0	-	892 850

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

Тема 5. Средние величины как статистические показатели

Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя . Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними .

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

степенные средние ;

структурные средние .

Введем следующие условные обозначения:

Величины, для которых исчисляется средняя;

Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

(5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой ) имеет вид

где n - численность совокупности.

Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:

Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:

При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной , которая имеет вид

(5.3)

Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:

Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

(5.4)

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

(5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;

если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

В данной главе описывается назначение средних величин, рассматриваются их основные виды и формы, методика расчета. При изучении представленного материала необходимо усвоить требования к построению средних величин, так как их соблюдение позволяет использовать эти величины как типические характеристики значений признака по совокупности однородных единиц.

Формы и виды средних величин

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику уровня значений признака, которая получена в расчете на единицу совокупности. В отличие от относительной величины, которая является мерой соотношения показателей, средняя величина служит мерой признака на единицу совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть существенные и случайные. Например, ставки процента по банковским ссудам определяются исходными для всех кредитных организаций факторами (уровень резервных требований и базовая ставка процента gо ссудам, предоставляемым коммерческим банкам центральным банком, и др.), а также особенностями каждой конкретной сделки в зависимости от риска, присущего данной ссуде, ее размера и срока погашения, издержек по оформлению ссуды и контролю за ее погашением и др.

В средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние общих условий, наиболее характерных для данной совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Средняя величина будет отражать типичный уровень признака в данной совокупности единиц, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В связи с этим метод средних используют в сочетании с методом группировок.

Средние величины, характеризующие совокупность в целом, называют общими, а средние, отражающие особенность группы или подгруппы, – групповыми.

Сочетание общих и групповых средних позволяет проводить сравнения во времени и пространстве, существенно расширяет границы статистического анализа. Например, при подведении итогов переписи 2002 г. было установлено, что для России, как и для большинства европейских стран, характерно старение населения. По сравнению с переписью 1989 г. средний возраст жителей страны увеличился на три года и составил 37,7 года, мужчин – 35,2 года, женщин – 40,0 лет (по данным 1989 г. эти показатели соответственно были 34,7, 31,9 и 37,2 лет). По данным Росстата, ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 2011 г. мужчин – 63 года, женщин – 75,6 лет.

Каждая средняя отражает особенность изучаемой совокупности по какому-то одному признаку. Для принятия практических решений, как правило, необходима характеристика совокупности по нескольким признакам. В этом случае используют систему средних величин.

Например, для достижения должного уровня доходности операций при приемлемом уровне риска банковской деятельности средние ставки процента по выданным кредитам устанавливают с учетом средних ставок процента по депозитам и другим финансовым инструментам.

Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных. Средние величины делятся на две основные категории:

• 1) степенные средние;
• 2) структурные средние.

Формула средней определяется значением степени применяемой средней. С увеличением показателя степени k возрастает соответственно средняя величина.

1. Средняя гармоническая ():

2. Средняя геометрическая ():

3. Средняя арифметическая ():

4. Средняя квадратическая ():

Правило мажорности средних величин следующее:

Наиболее известный и распространенный вид средней – средняя арифметическая величина. Среднюю гармоническую часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической. Среднюю квадратическую широко используют при расчете показателей вариации, а среднюю геометрическую – при анализе динамики.

Общая теория статистики: конспект лекции Коник Нина Владимировна

2. Виды средних величин

2. Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

1) степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратиче-ская, средняя кубическая);

2) структурные средние (мода, медиана). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней – средняя арифметическая. Средней арифметической называется такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. В общем случае ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый – 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз для определения средней выработки одного рабочего, следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек, возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где x i – варианты осредняемого признака, f – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности.

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых надо вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитываться по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысла и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней – средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f ;) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где х – отдельные варианты;

n – число вариантов осредняемого признака.

Например простую среднюю гармоническую можно применить к скорости, если равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величины должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Формула средней определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым. Поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической, в статистике используются и другие виды (формы) средней. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажорантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина.

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая – при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и исчисляется по формуле:

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и исчисляется по формуле:

а средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где x – средняя величина;

х – индивидуальное значение;

n – число единиц изучаемой совокупности;

k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности, и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов. Поэтому, кроме рассмотренных средних, в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные (или описательные) средние – мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

где х 0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

f m – частота интервала;

f m1 – частота предшествующего интервала;

f m+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (n+1) /2с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х 0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

f m – частота интервала;

f– число членов ряда;

? m -1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а децили – на десять равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Данный текст является ознакомительным фрагментом. Из книги Золотой стандарт: теория, история, политика автора Коллектив авторов

И. М. Кулишер Краткая история денежного обращения от средних веков до нового времени Печатается по изданию: Кулишер И. М. История экономического быта Западной Европы. Челябинск: Социум, 2004. Т. I, с. 368-90; т. II, с.

Из книги Теория бухгалтерского учета: конспект лекций автора Дараева Юлия Анатольевна

1. Виды инвентаризации Инвентаризация – это проверка фактического наличия имущества предприятия. К имуществу предприятия, как правило, относятся: основные средства; нематериальные активы, прочие запасы, денежные средства, финансовые обязательства, отраженных в

Из книги Торговая система трейдера: фактор успеха автора Сафин Вениамин Ильтузарович

Глава 5 Создание торговых систем на основе скользящих средних 5.1. Введение О торговых системах, основанных на скользящих средних, написано почти в каждой книге по техническому анализу. И многие начинающие трейдеры пытаются работать на бирже, используя эти системы. Однако

Из книги Forex – это просто автора Каверина Ирина

Схождение-расхождение скользящих средних Схождение-расхождение скользящих средних (Moving Averages Convergence Divergence, MACD) представляет собой простой осциллятор от двух экспоненциально сглаженных скользящих средних. Изображается в виде линии (см. рис. 9.1).Чтобы четко обозначить

автора Щербина Лидия Владимировна

20. Назначение и виды статистических показателей и величин Различают два вида показателей экономиче–ского и социального развития общества: плановые и отчетные. Плановые показатели представляют со–бой определенные конкретные значения показате–лей. Отчетные

Из книги Общая теория статистики автора Щербина Лидия Владимировна

24. Виды средних величин В статистике используют различные виды сред–них величин, которые делятся на два больших класса:1) степенные средние (средняя гармоническая, сред–няя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);2)

Из книги Экономика предприятия: конспект лекций автора

4. Виды цен Ценовая система – единая упорядоченная совокупность различных видов цен, обслуживающих и регулирующих экономические отношения между различными участниками национального и мирового рынков.Дифференциация цен по отраслям и сферам обслуживания экономики

Из книги Экономика предприятия автора Душенькина Елена Алексеевна

31. Виды цен Ценовая система – совокупность различных видов цен, обслуживающих и регулирующих экономические отношения между различными участниками национального и мирового рынков.Дифференциация цен по отраслям и сферам обслуживания экономики строится на основе учета

автора Коник Нина Владимировна

1. Назначение и виды статистических показателей и величин Природа и содержание статистических показателей соответствуют тем экономическим и социальным явлениям и процессам, которые их отражают. Все экономические и социальные категории или понятия носят абстрактный

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

2. Виды средних величин В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:1) степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратиче-ская, средняя кубическая);2) структурные

автора

28. Виды относительных величин Рассмотрим следующие виды относительных величин.1. Относительная величина выполнения договорных обязательств – это показатель, характеризующий уровень выполнения предприятием своих обязательств, предусмотренных в договорах. Расчет

Из книги Теория статистики автора Бурханова Инесса Викторовна

29. Общая характеристика средних величин Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности по какому-либо варьирующему признаку.Средняя величина – это один из распространенных приемов обобщений.Средние величины позволяют сравнивать уровни одного и

Из книги Теория статистики автора Бурханова Инесса Викторовна

30. Виды средних величин Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая.В изучении средних величин применяются следующие показатели и

Из книги Теория статистики автора Бурханова Инесса Викторовна

44. Другие агрегатные индексы: индекс выполнения плана, среднеарифметический и среднегармонический индекс, индексысредних величин 1. Индекс выполнения плана. При его вычислении фактические данные сопоставляются с плановыми, причем весами индекса могут быть показатели

Из книги Недвижимость. Как ее рекламировать автора Назайкин Александр

Из книги Ключевые стратегические инструменты автора Эванс Воган

18. Сглаживание с помощью скользящих средних Инструмент«Жизнь похожа на американские горки, и поэтому просто катайся в ней», – напевал Ронан Китинг. Это утверждение относится, скорее всего, не только к жизни, но и к рынку. Там тоже надо иногда просто кататься.Когда

По дисциплине: Статистика

Вариант № 2

Средние величины, применяемые в статистике

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретическое задание

Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения.

1.1. Сущность средней величины и условия применения………….4

1.2. Виды средних величин……………………………………………8

Практическое задание

Задача 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список используемой литературы……………………………………………...23

Введение

Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Сущность средней величины

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность. Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности.

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Другое свойство массовых явлений - присущая им близость характеристик отдельных явлений. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в её объективности заключается причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленный в виде средних величин.

С помощью метода средних величин статистика решает много задач.

Главное значение средних состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности.

Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно однородные явления.

Средняя величина национального дохода на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания – это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.д.), так и динамические системы, протяжённые во времени (год, десятилетие, сезон и т.д.).

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Вычисление среднего - один из распространённых приёмов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости.

Средняя – это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания её типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатель средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооружённости и энерговооружённости труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.

Средняя должна вычисляться с учётом экономического содержания исследуемого показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально экономическом анализе, можно исчислить только одно истинное значение средней на базе научного способа расчёта.

Средняя величина это один из важнейших обобщающих статистических показателей, характеризующий совокупность однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средние в статистике это обобщающие показатели, числа, выражающие типичные характерные размеры общественных явлений по одному количественно варьирующему признаку.

Виды средних величин

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средняя арифметическая

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид.

,