Криволинейное равноускоренное движение. Кинематика криволинейного движения

Мы знаем, что при прямолинейном движении направление вектора скорости всегда совпадает с направлением перемещения. Что можно сказать о направлении скорости и перемещения при криволинейном движении? Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся тем же приемом, которым пользовались в предыдущей главе при изучении мгновенной скорости прямолинейного движения.

На рисунке 56 представлена некоторая криволинейная траектория. Допустим, что тело движется по ней из точки А в точку В.

При этом пройденный телом путь - это дуга А В, а его перемещение это вектор Конечно, нельзя считать, что скорость тела во время движения направлена вдоль вектора перемещения. Проведем между точками А и В ряд хорд (рис. 57) и представим себе, что движение тела происходит именно по этим хордам. На каждой из них тело движется прямолинейно и вектор скорости направлен вдоль хорды.

Сделаем теперь наши прямолинейные участки (хорды) более короткими (рис. 58). По-прежнему на каждом из них вектор скорости направлен вдоль хорды. Но видно, что ломаная линия на рисунке 58 уже более похожа на плавную кривую.

Ясно поэтому, что, продолжая уменьшать длину прямолинейных участков, мы их как бы стянем в точки и ломаная линия превратится в плавную кривую. Скорость же в каждой точке этой кривой будет направлена но касательной к кривой в этой точке (рис. 59).

Скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

В том, что скорость точки при криволинейном движении действительно направлена по касательной, убеждает нас, например, наблюдение за работой гочнла (рис. 60). Если прижать к вращающемуся точильному камню концы стального прутка, то раскаленные частицы, отрывающиеся от камня, будут видны в виде искр. Эти частицы летят с той скоростью, которой

они обладали в момент отрыва от камня. Хорошо видно, что направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня. По касательной к окружности движутся и брызги от колес буксующего автомобиля (рис. 61).

Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различные направления, как это показано на рисунке 62. Модуль же скорости может быть во всех точках траектории одинаковым (см. рис. 62) или изменяться от точки к точке, от одного момента времени к другому (рис. 63).

6. Криволинейное движение. Угловое перемещение, угловые скорость и ускорение тела. Путь и перемещение при криволинейном движении тела.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модульскорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), аl – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

или

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Криволинейное движение

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времениt определяется по формулам

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота - величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому

vT = 2πr,

где w (с -1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

Связь между линейной и угловой скоростями:

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Эта тема будет посвящена более сложному виду движения – КРИВОЛИНЕЙНОМУ . Как несложно догадаться, криволинейным называется движение, траектория которого представляет собой кривую линию . И, поскольку это движение сложнее прямолинейного, то для его описания уже не хватает тех физических величин, которые были перечислены в предыдущей главе.

Для математического описания криволинейного движения имеются 2 группы величин: линейные и угловые.

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1. Перемещение . В разделе 1.1 мы не стали уточнять различие между понятием

Рис.1.3 пути (расстояния) и понятием перемещения,

поскольку в прямолинейном движении эти

различия не играют принципиальной роли, да и

Обозначаются эти величины одной и той же бук-

вой S . Но, имея дело с криволинейным движением,

этот вопрос нужно прояснить. Итак, что такое путь

(или расстояние)? – Это длина траектории

движения. То есть, если Вы отследите траекторию

движения тела и измерите ее (в метрах, километрах и т.д.), вы получите величину, которая называется путем (или расстоянием) S (см. рис.1.3). Таким образом, путь – это скалярная величина, которая характеризуется только числом.

Рис.1.4 А перемещение - это кратчайшее расстояние между

точкой начала пути и точкой конца пути. И, поскольку

перемещение имеет строгую направленность из начала

Пути в его конец, то оно является величиной векторной

и характеризуется не только численным значением, но и

направлением (рис.1.3). Нетрудно догадаться, что, если

тело совершает движение по замкнутой траектории, то к

моменту его возвращения в начальное положение перемещение будет равно нулю (см. рис.1.4).

2 . Линейная скорость . В разделе 1.1 мы давали определение этой величины, и оно остается в силе, хотя тогда мы не уточняли, что эта скорость линейная. Как же направлен вектор линейной скорости? Обратимся к рис.1.5. Здесь изображен фрагмент

криволинейной траектории тела. Любая кривая линия представляет собой соединение между собой дуг разных окружностей. На рис.1.5 изображены только две из них: окружность (О 1 , r 1) и окружность (О 2 , r 2). На момент прохождения тела по дуге данной окружности ее центр становится временным центром поворота с радиусом, равным радиусу этой окружности.

Вектор, проведенный из центра поворота в точку, где в данный момент находится тело, называется радиусом-вектором. На рис.1.5 радиусы-векторы представлены векторами и . Также на этом рисунке изображены и вектора линейной скорости: вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения. Следовательно, угол между вектором и радиусом-вектором, проведенным в данную точку траектории, всегда равен 90°. Если тело движется с постоянной линейной скоростью, то модуль вектора изменяться не будет, тогда как его направление все время меняется в зависимости от формы траектории. В случае, изображенном на рис.1.5, движение осуществляется с переменной линейной скоростью, поэтому у вектора изменяется модуль. Но, поскольку при криволинейном движении направление вектора изменяется всегда, то отсюда следует очень важный вывод:

при криволинейном движении всегда есть ускорение ! (Даже если движение осуществляется с постоянной линейной скоростью.) Причем, ускорение, о котором идет речь в данном случае, в дальнейшем мы будем называть линейным ускорением.

3 . Линейное ускорение . Напомню, что ускорение возникает тогда, когда изменяется скорость. Соответственно, линейное ускорение появляется в случае изменения линейной скорости. А линейная скорость при криволинейном движении может изменяться кок по модулю, так и по направлению. Таким образом, полное линейное ускорение раскладывается на две составляющие, одна из которых влияет на направление вектора , а вторая на его модуль. Рассмотрим эти ускорения (рис. 1.6). На этом рисунке

рис. 1.6

изображено тело, движущееся по круговой траектории с центром поворота в точке О.

Ускорение, которое изменяет направление вектора , называется нормальным и обозначается . Нормальным оно называется потому, что направлено перпендикулярно (нормально) к касательной, т.е. вдоль радиуса к центру поворота . Его еще называют центростремительным ускорением.

Ускорение, которое изменяет модуль вектора , называется тангенциальным и обозначается . Оно лежит на касательной и может быть направлено как в сторону направления вектора , так и противоположно ему :

Если линейная скорость увеличивается, то > 0 и их вектора сонаправлены;

Если линейная скорость уменьшается, то < 0 и их вектора противоположно

направлены.

Таким образом, эти два ускорения всегда образуют между собой прямой угол (90º) и являются составляющими полного линейного ускорения , т.е. полное линейное ускорение есть векторная сумма нормального и тангенциального ускорения:

Замечу, что в данном случае речь идет именно о векторной сумме, но ни в коем случае не о скалярной. Чтобы найти численное значение , зная и , необходимо воспользоваться теоремой Пифагора (квадрат гипотенузы треугольника численно равен сумме квадратов катетов этого треугольника):

(1.8).

Отсюда следует:

(1.9).

По каким формулам рассчитывать и рассмотрим чуть позже.

УГЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1 . Угол поворота φ . При криволинейном движении тело не только проходит какой-то путь и совершает какое-то перемещение, но и поворачивается на определенный угол (см. рис. 1.7(а)). Поэтому для описания такого движения вводится величина, которая называется углом поворота, обозначается греческой буквой φ (читается «фи»). В системе СИ угол поворота измеряется в радианах (обозначается «рад»). Напомню, что один полный оборот равен 2π радианам, а число π есть константа: π ≈ 3,14. на рис. 1.7(а) изображена траектория движения тела по окружности радиуса r с цетром в точке О. Сам угол поворота – это угол между радиус-векторами тела в некоторые моменты времени.

2 . Угловая скорость ω – это величина, показывающая, как изменяется угол поворота за единицу времени. (ω – греческая буква, читается «омега».) На рис. 1.7(б) изображено положение материальной точки, движущейся по круговой траектории с центром в точке О, через промежутки времени Δt . Если углы, на которые поворачивается тело в течение этих промежутков, одинаковы, то угловая скорость постоянна, и это движение можно считать равномерным. А если углы поворота разные – то движение неравномерное. И, поскольку угловая скорость показывает, на сколько радиан

повернулось тело за одну секунду, то ее единица измерения – радиан в секунду

(обозначается «рад/с »).

рис. 1.7

а). б). Δt

Δt

О φ О Δt

3 . Угловое ускорение ε – это величина, показывающая, как изменяется за единицу времени. И, поскольку угловое ускорение ε появляется тогда, когда изменяется, угловая скорость ω , то можно сделать вывод, что угловое ускорение имеет место только в случае неравномерного криволинейного движения. Единица измерения углового ускорения – «рад/с 2 » (радиан за секунду в квадрате).

Таким образом, таблицу 1.1 можно дополнить еще тремя величинами:

Табл.1.2

№	физическая величина	определение величины	обозначение величины	единица измерения
1.	путь	это расстояние, которое преодолевает тело в процессе своего движения	S	м (метр)
2.	скорость	это расстояние, которое проходит тело за единицу времени (например, за 1 секунду)	υ	м/с (метр в секунду)
3.	ускорение	это величина, на которую изменяется скорость тела за единицу времени	a	м/с 2 (метр за секунду в квадрате)
4.	время		t	с (секунда)
5.	угол поворота	это угол, на который поворачивается тело в процессе криволинейного движения	φ	рад (радиан)
6.	угловая скорость	это угол, на который поворачивается тело за единицу времени (например, за 1 сек.)	ω	рад/с (радиан в секунду)
7.	угловое ускорение	это величина, на которую изменяется угловая скорость за единицу времени	ε	рад/с 2 (радиан за секунду в квадрате)

Теперь можно перейти непосредственно к рассмотрению всех видов криволинейного движения, а их всего лишь три.

Кинематика изучает движение без выявления причин, вызывающих это движение. Кинематика является разделом механики. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел во времени.

Основные кинематические величины:

- Перемещение() – вектор, соединяющий начальную и конечную точки.

r – радиус-вектор, определяет положение МТ в пространстве.

- Скорость – отношение пути ко времени.

- Путь – множество точек через которое прошло тело.

- Ускорение – скорость изменения скорости, то есть первая производная от скорости.

2.Ускорение при криволинейном движении: нормальное и тангенциальное ускорение. Плоское вращение. Угловая скорость, ускорение.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости.

Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

Где 𝛖 τ , 𝛖 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно. Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

-угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ - рад/с.

Плоское вращение – это вращение всех векторов скоростей точек тела в одной плоскости.

3.Связь между векторами скорости и угловой скорости материальной точки. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное (центростремительное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой.