Математические методы наиболее широко используются при проведении системных исследований. При этом решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется по следующему алгоритму:

математическая формулировка задачи (разработки математической модели);

выбор метода проведения исследования полученной математической модели;

анализ полученного математического результата.

Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений (формул, функций, уравнений, систем уравнений), описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса или объект (процесс) в целом.

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Модель является результатом компромисса между двумя противоположными целями:

модель должна быть подробной, учитывать все реально существующие связи и участвующие в его работе факторы и параметры;

в то же время модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить приемлемые решения или результаты в приемлемые сроки при определенных ограничениях на ресурсы.

Моделирование можно назвать приближенным научным исследованием. А степень его точности зависит от исследователя, его опыта, целей, ресурсов.

Допущения, принимаемые при разработке модели, являются следствием целей моделирования и возможностей (ресурсов) исследователя. Они определяются требованиями точности результатов, и как сама модель, являются результатом компромисса. Ведь именно допущения отличают одну модель одного и того же процесса от другой.

Обычно при разработке модели отбрасываются (не принимаются во внимание) несущественные факторы. Константы в физических уравнениях считаются постоянными. Иногда усредняются некоторые величины, изменяющиеся в процессе (например, температура воздуха может считаться неизменной за какой-то промежуток времени).

1. Процесс разработки модели

Это процесс последовательной (и возможно, неоднократной) схематизации или идеализации исследуемого явления.

Адекватность модели - это ее соответствие тому реальному физическому процессу (или объекту), который она представляет.

Для разработки модели физического процесса необходимо определить:

Иногда используется подход, когда применяется модель небольшой полноты, носящая вероятностный характер. Потом с помощью ЭВМ производится ее анализ и уточнение.

Проверка модели начинается и проходит в самом процессе ее построения, когда выбираются или устанавливаются те или иные взаимосвязи между ее параметрами, оцениваются принятые допущения. Однако после сформирования модели в целом надо проанализировать ее с некоторых общих позиций.

Математическая основа модели (т. е. математическое описание физических взаимосвязей) должна быть непротиворечивой именно с точки зрения математики: функциональные зависимости должны иметь те же тенденции изменения, что и реальные процессы; уравнения должны иметь область существования не менее диапазона, в котором проводится исследование; в них не должно быть особых точек или разрывов, если их нет в реальном процессе, и т. д. Уравнения не должны искажать логику реального процесса.

Модель должна адекватно, т. е. по возможности точно, отражать действительность. Адекватность нужна не вообще, а в рассматриваемом диапазоне.

Расхождения между результатами анализа модели и реальным поведением объекта неизбежны, так как модель - это отражение, а не сам объект.

На рис. 3. представлено обобщенное представление, которое используется при построении математических моделей.

Рис. 3. Аппарат для построения математических моделей

При использовании статических методов наиболее часто используется аппарат алгебры и дифференциальные уравнения с независимыми от времени аргументами.

В динамических методах таким же образом используются дифференциальные уравнения; интегральные уравнения; уравнения в частных производных; теория автоматического управления; алгебра.

В вероятностных методах используются: теория вероятностей; теория информации; алгебра; теория случайных процессов; теория Марковских процессов; теория автоматов; дифференциальные уравнения.

Важное место при моделировании занимает вопрос о подобии модели и реального объекта. Количественные соответствия между отдельными сторонами процессов, протекающих в реальном объекте и его модели, характеризуются масштабами.

В целом подобие процессов в объектах и модели характеризуется критериями подобия. Критерий подобия - это безразмерный комплекс параметров, характеризующий данный процесс. При проведении исследований в зависимости от области исследований применяют различные критерии. Например, в гидравлике таким критерием является число Рейнольдса (характеризует текучесть жидкости), в теплотехнике - число Нусссельта (характеризует условия теплоотдачи), в механике - критерий Ньютона и т. д.

Считается, что если подобные критерии для модели и исследуемого объекта равны, то модель является правильной.

К теории подобия примыкает еще один метод теоретического исследования - метод анализа размерностей, который основан на двух положениях:

физические закономерности выражаются только произведениями степеней физических величин, которые могут быть положительными, отрицательными, целыми и дробными; размерности обоих частей равенства, выражающего физическую размерность, должны быть одинаковы.

Одним из показателей зрелости науки считается использование ею математических методов исследования. Такие методы применяются в криминалистике издавна. В сущности, уже упоминавшийся такой общий метод познания, как измерение, есть гносеологически обобщенное понятие любого математического метода. Однако когда мы говорим о "математизации" криминалистики, то имеем в виду современные математические методы исследования, состоящие из операций неизмеримо более сложных, нежели простое сравнение объекта с мерой.

С начала 60-х годов в криминалистической литературе получает широкое признание как принципиальная возможность использования математических методов в криминалистических научных исследованиях, так и необходимость их применения для решения задач криминалистической экспертизы, в том числе и задачи идентификации. Рассматривая эту проблему в разных аспектах, криминалисты неизменно подчеркивали, что применение математических методов исследования открывает новые возможности в развитии как криминалистической науки, так и практики доказывания, а сама постановка этой проблемы свидетельствует о достижении криминалистикой такого уровня развития, когда она, как и другие развитые науки, испытывает потребность в тех точных методах познания своего предмета, которые может предоставить ей современная математика.

Процесс "математизации" криминалистики в настоящее время протекает в трех направлениях. Первое из них - это общетеоретическое направление.

В общетеоретическом плане процесс "математизации" поставил перед криминалистами задачу принципиального обоснования возможностей применения математических методов исследования и определения тех областей науки, при разработке которых эти методы могут дать наиболее эффективные результаты. В литературе данное направление представлено работами В. А. Пошкявичуса, Н. С. Полевого, А. А. Эйсмана, Н. А. Селиванова, З. И. Кирсанова, Л. Г. Эджубова и других авторов. Основные выводы, которые можно сделать после ознакомления с их исследованиями, сводятся к следующему:

1. Процесс "математизации" криминалистики есть естественный процесс, обусловленный современным этапом развития этой науки и математических методов исследования, приобретающих в силу этого все более универсальный характер. Использование математико-кибернетических методов исследования в криминалистике принципиально допустимо; их применение в доказывании нельзя рассматривать как использование специальных знаний, если речь идет о количественных характеристиках и элементарных математических методах; в тех случаях, когда математические методы используются для описания, обоснования или анализа явлений, познание которых осуществляется с помощью специальных знаний, применение этих методов охватывается понятием применения в судопроизводстве специальных познаний.

2. Использование математико-кибернетических методов исследования возможно в целях:

А) совершенствования методики криминалистической экспертизы, что в итоге приведет к расширению ее возможностей;

Б) научного анализа процесса доказывания и разработки рекомендаций по применению теории вероятностей и математической статистики, математической логики, исследования операций и теории игр в следственной практике.

В исследованиях общетеоретического направления получили свое отражение и два других направления процесса "математизации" криминалистики: использование математических методов в криминалистической экспертизе и при анализе процесса доказывания в целом.

Второе направление рассматриваемого процесса - использование математических методов для разработки проблем теории криминалистической идентификации и ее практических приложений и проблем криминалистической экспертизы, а в итоге - и проблем судебной экспертизы в целом . Суть этого направления и пути использования результатов математизации охарактеризованы А. Р. Шляховым: "Роль математических методов в судебной экспертизе двояка: с одной стороны, они выступают в качестве составной части функционирования ЭВМ в виде программных комплексов решения задач и ИПС, с другой стороны, они могут использоваться самостоятельно, без ЭВМ и обеспечивать полное либо частичное решение задач судебной экспертизы. Математические методы давно и прочно вошли в методики производства экспертиз, например, трасологических, баллистических, почерковедческих, автотехнических и др. ... Математические методы полезны при обработке результатов измерений, аналитического сравнения и как критерий достаточности выявленной совокупности признаков для индивидуализации объекта, оценки полноты ее в целях отождествления".

Это направление развивается наиболее интенсивно как непосредственно отвечающее потребностям судебно-экспертной практики. Еще в 1969 г. А. Р. Шляхов отмечал, что математические методы заняли одно из главных мест в системе методов, общих для всех стадий экспертного исследования и различных видов криминалистических экспертиз. В 1977 г. методы прикладной математики и программно-математические методы применения ЭВМ по предложенной А. И. Винбергом и А. Р. Шляховым классификации методов экспертного исследования были отнесены к числу общих (общепознавательных) методов. С конца 60-х гг. идет интенсивный поиск точек приложения математико-кибернетических методов практически во всех видах судебных экспертиз, предпринимаются попытки инвентаризации применяемых методов.

В результате интенсивного изучения проблемы использования математических методов в научных и экспертных исследованиях был поставлен вопрос о пределах их применения. Г. Л. Грановский отметил две точки зрения: одни возлагают надежды в области совершенствования экспертизы только на применение методов точных наук, другие более осторожно подходят к этому вопросу и указывают на пределы возможностей использования современной математики. Именно их позиция представляется более близкой к правильному пониманию проблемы". По его мнению, существуют естественные ограничения, "которые природа объектов экспертизы налагает на возможности использования для их исследования математических методов... Применение количественных методов в любой экспертизе теоретически допустимо, но практически еще мало известно, какие признаки и в каких пределах поддаются математическому описанию и оценке, какие результаты можно ожидать от использования для их исследования математических методов". Современная экспертная практика идет по пути решения этой двуединой задачи: определение точек приложения математических методов, и затем уже их практическое использование.

В настоящее время математические методы наиболее активно применяются при решении задач судебно-почерковедческой экспертизы, САТЭ, а также КЭМВИ; при этом они не только используются при проведении судебно-экспертного исследования (в процессе получения информации об объекте судебной экспертизы), но и являются средством решения судебно- экспертной задачи на основе информации об объекте. При этом наибольшую доказательственную ценность составляет количественная информация, что подтверждают исследования, связанные с решением задачи установления ФКВ объектов волокнистой природы (В.А. Пучков, В. З. Поляков, 1986) на основе результатов аналитического исследования микрочастиц волокон (когда после проведения информационного поиска по массиву волокон, исследованных в экспертизах, задача принятия решения по результатам конкретного аналитического исследования сводится к теоретико-вероятностной задаче), с применением вероятностно-статистической модели (Л. А. Гегечкори, 1985) к решению задачи криминалистической идентификации по признакам состава и строения (модель может быть использована как на предварительной стадии, так и на стадиях сравнительного исследования и синтезирующей; ядром модели являются статистические критерии, использующиеся на стадии сравнительного исследования и в зависимости от которых организуется статистический анализ информационных фондов, необходимый при работе модели на других стадиях решения задачи), с разработкой математической модели задач дифференциации подлинных подписей и неподлинных, выполненных с подражанием после предварительной тренировки (С. А. Атаходжаев и др., 1984). Отметим также разработку математических моделей задачи о наезде ТС на пешехода в условиях ограниченной видимости и некоторые подходы к применению математических методов в задачах судебно-фоноскопической экспертизы.

Опыт использования математических методов в судебной экспертизе свидетельствует о том, что необходимо четко разграничивать применение математических методов для обработки информации, получаемой в процессе изучения объектов судебной экспертизы, и разработку математических моделей для решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования. Если первый аспект не является специфически криминалистическим (ибо исследование объекта судебной экспертизы ведется естественнонаучными методами), то второй имеет особую криминалистическую природу. Она предстает в снятом виде, когда мы располагаем уже математической моделью для решения типовой судебно-экспертной задачи, однако, если не отвлекаться от процесса разработки математической модели, криминалистическая природа ее обнаруживается со всей очевидностью. В самом деле, разработка математических моделей для типовых судебно-экспертных задач всегда инициируется потребностью решения конкретных, индивидуально определенных задач. Специалист-математик в тесном контакте с судебным экспертом выделяет наиболее существенные количественные закономерности, которые дают возможность разработать математическую модель не только для конкретной судебно-экспертной задачи, но и для целого типа задач. В этом и заключен глубокий смысл математизации их решения. Математические методы в судебной экспертизе являются не только (и не столько) методами изучения объектов, получения информации о них (каковы, например, физические и химические методы), но и методами решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования.

Третье направление математизации криминалистических научных исследований - применение математических методов для решения проблем криминалистической тактики и методики. В литературе оно представлено работами А. А. Эйсмана, И. М. Лузгина, Л. Г. Видонова, Н.А. Селиванова и др. Уже первые исследования в этой области показали ограниченность приложения математических методов к решению проблем тактики и методики.

А. А. Эйсман справедливо отметил, что "судебное доказывание не может быть описано с помощью средств традиционной логики, прежде всего, потому, что все акты доказывания, как простые, так и сложные, носят не только качественный характер (да/нет), но и количественный (более надежно, менее надежно). Именно эта оценочная, количественная сторона создает главные трудности для моделирования... Отсутствуют какие бы то ни было средства и возможности показать абсолютный уровень этой надежности, дать ей строгие количественные значения. Это вполне понятно, потому что мы не располагаем (и трудно с научной достоверностью предсказать, будем ли когда-нибудь располагать) методами количественной оценки улик. По-видимому, единственным средством получения таких количественных характеристик является статистическая обработка огромного числа событий и фактов, входящих в содержание доказательств. При этом речь идет о статистическом учете значения отдельных фактов (например, обнаружения поличного) в разных меняющихся условиях. Нетрудно представить почти беспредельный объем таких статистических исследований. В то же время, трудно судить и о практической эффективности результатов, если они будут получены." Именно поэтому А. А. Эйсман высказывал мнение, что в логике следствия из средств математической логики используются лишь некоторые формулы исчисления высказываний, которые "не образуют строгого исчисления, то есть законченного аппарата правил построения вывода, а играют вспомогательную роль". Это мнение поддерживал и И. М. Лузгин.

Н. А. Селиванов ограничил применение математических методов в области криминалистической тактики лишь измерением различных объектов и решением некоторых задач в процессе отдельных следственных действий, преимущественно при осмотре места происшествия: для определения неизвестного расстояния по двум известным, наклона линии полета брызг крови, размеров автомобильных шин по их следам, скорости движения автомобиля по тормозному пути и некоторых других. У И. М. Лузгина мы встречаем упоминание о логико-математическом моделировании, объектами которого, с его точки зрения, могут быть признаки спорных ситуаций, факты, образующие состав преступления, и связанные с ним обстоятельства, отношения между предметами и явлениями, признаки следов. Однако, кроме упоминания, никаких данных, подтверждающих реальную возможность такого моделирования, он не приводит.

Пионерами изучения возможности применения в криминалистической методике вероятностно-статистических методов можно считать З. И. Кирсанова и Н. А. Родионова. Первый определил основные направления применения статистических методов: для изучения способов совершения преступления, видов документов, подделываемых преступниками, предметов, используемых в качестве тайников, в целом для обобщения и изучения следственной практики и т. п.. Второй назвал те статистические методы, которые, по его мнению, могут быть применены при расследовании преступлений. Примером успешного применения вероятностно-статистических методов для определения зависимостей между элементами криминалистической характеристики умышленных убийств служат работы Л. Г. Видонова.

Предпринимаются попытки оценки при помощи вероятностно-статистических методов эффективности отдельных тактических приемов или их сочетаний в рамках специальных комплексов, эффективности тактических комбинаций (операций) по отдельным категориям преступлений.

Расширение сферы применения в криминалистике математических методов логически повлекло за собой исследование возможностей их использования для решения практических задач на базе компьютерных технологий. "Говоря о применении математических методов, хотелось бы подчеркнуть, что не следует противопоставлять их ЭВМ, - справедливо замечал уже в 1984 году в этой связи А. Р. Шляхов. - Математические и технико- криминалистические методы могут дополнять друг друга, взаимодействовать, а в ряде случаев функционировать параллельно. По своей сути и форме они не тождественны. Верно, что почти все достижимое математикой может решать и

ЭВМ (иногда даже лучше математиков), но без математиков ЭВМ бессильна". Такой областью правоохранительной практической деятельности, где применение ЭВМ оказалось наиболее перспективным, является судебная экспертиза.

Помимо экспертной практики, в криминалистике определились следующие направления использования кибернетических методов:

Извлечение информации о различных объектах, процессах и автоматизация ее первичной обработки;

Применение автоматических устройств и ЭВМ для срочной обработки информации и для получения производных параметров по фиксированной первичной информации;

Автоматизация процесса кодирования и сканирования информации;

Компьютерное распознавание образов;

Исследование математических моделей процесса доказывания.

И геометрией . Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями - наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии .

История

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер , Иоганн Бернулли , Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши , впоследствии - Риман), начали обособляться ещё в XVIII - первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа - вещественного числа , функции , предела , интеграла , прежде всего, в трудах Коши и Больцано , и приобретшие законченную форму к 1870-м - 1880-м годам в работах Вейерштрасса , Дедекинда и Кантора . В этой связи сформировались теория функций вещественной переменной и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, - теория функций комплексной переменной . Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан , Борель , Лебег , Бэр) была создана теория меры , благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительной переменной . Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения . Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар , обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе - Вольтерра , Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений , развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формирования функционального анализа . В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория , в том же году опубликована работа Фреше , в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства . В 1910-е - 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис , Банах , Хан). В период 1929-1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (Джон фон Нейман , Маршалл Стоун , Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённой функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является δ {\displaystyle \delta } -функция Дирака). В 1930-е - 1950-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраических инструментов (векторные решётки , операторные алгебры , банаховы алгебры).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф , Колмогоров , фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств - топологических групп и представлений (Вейль , Петер , Понтрягин). Начиная с 1940-х - 1950-х годов методы функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х - 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование). В 1950-е годы в трудах Понтрягина и учеников в развитие методов вариационного исчисления создана теория оптимального управления .

Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление - анализ на многообразиях , получившее название «глобальный анализ» , фактически начавшее формироваться ранее, в 1920-е годы в рамках теории Морса как обобщение вариационного исчисления (называемое Морсом «вариационное исчисление в целом», англ. variation calculus in large ). К этому направлению относят созданные в развитие теории бифуркаций динамических систем (Андронов) такие направления, как теорию особенностей (Уитни , ) и теорию катастроф (Том , и Мазер , ), получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана и Арнольда .

Классический математический анализ

Классический математический анализ - раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых », состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия - предел функции , дифференциал , производная , интеграл , главные результаты - формула Ньютона - Лейбница , связывающая определённый интеграл и первообразную и ряд Тейлора - разложение в ряд бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus ).

Теория функций вещественной переменной (иногда именуется кратко - теория функций ) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции : если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественной переменной - факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественной переменной :

Теория функций комплексной переменной

Предмет изучения теории функций комплексной переменной - числовые функции, определённые на комплексной плоскости C 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} или комплексном евклидовом пространстве C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции , играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств , тем самым многие результаты теории функций комплексной переменной нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качестве предмета изучения топологических векторных пространств и их отображений с наложенными на них различными алгебраическими и топологическими условиями . Центральную роль в функциональном анализе играют функциональные пространства, классический пример - пространства всех измеримых функций , чья p {\displaystyle p} -я степень интегрируема; при этом уже L 2 {\displaystyle L^{2}} - бесконечномерное пространство (гильбертово пространство), и пространства бесконечных размерностей присущи функциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяется как часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и их отображения . Важнейшей формой пространств в классических разделах функционального анализа являются банаховы пространства - нормированные векторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой: значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми, среди них - все гильбертовы пространства, пространства L p {\displaystyle L^{p}} , пространства Харди , пространства Соболева . Важную роль играют в функциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиеся банаховыми пространствами - банаховы решётки и банаховы алгебры (в том числе - C ∗ {\displaystyle C^{*}} -алгебры , алгебры фон Неймана).

В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп . Важнейший результат коммутативного гармонического анализа - теорема Понтрягина о двойственности , благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории - некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике .

Дифференциальные и интегральные уравнения

В теории интегральных уравнений , кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма , оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства .

Теория динамических систем и эргодическая теория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем , изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория , нацеленная на обоснование статистической физики . Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности .

Глобальный анализ

Глобальный анализ - раздел анализа, изучающий функции и дифференциальные уравнения на многообразиях и векторных расслоениях ; иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».

Одно из первых направлений глобального анализа - теория Морса и её применение к задачам о геодезических на римановых многообразиях ; направление получило название «вариационное исчисление в целом». Основные результаты - лемма Морса , описывающая поведение гладких функций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такой гомотопический инвариант, как категория Люстерника - Шнирельмана . Многие из конструкций и утверждений обобщены на случай бесконечномерных многообразий (гильбертовых многообразий * , банаховых многообразий ). Результаты, полученные в рамках глобального анализа особых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач, такова, например, теорема периодичности Ботта , во многом послужившая основанием для самостоятельного раздела математики - K {\displaystyle K} -теории , а также теорема об h {\displaystyle h} -кобордизме , следствием которой является выполнение гипотезы Пуанкаре для размерности, превосходящей 4.

Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получивший широкое применение в физике и экономике - теория особенностей , теория бифуркаций и теория катастроф ; основное направление исследований данного блока - классификация поведений дифференциальных уравнений или функций в окрестностях критических точек и выявление характерных особенностей соответствующих классов.

Нестандартный анализ

Нестандартный анализ - формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики , основная идея - формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными: ими получены результаты, ранее не найденные классическими средствами из-за недостатка наглядности

Введение

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности.

В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях - логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях - корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов.

Общая характеристика математических методов анализа

Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых традиционными методами.

Применение математических методов в экономическом анализе деятельности предприятия требует:

· системного подхода к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий; в этих условиях сам анализ все более приобретает черты системного в кибернетическом смысле слова;

· разработки комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;

· совершенствования системы экономической информации о работе предприятий;

· наличия технических средств (компьютеров и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

· организации компьютерного анализа хозяйственной деятельности, создания программного обеспечения анализа в системе управления.

Рис. 1.

Вершиной сегодняшнего дня в развитии систем управления являются ВРМ-системы (Business Performance Management - управление эффективностью бизнеса), т.е. системы, позволяющие связывать воедино все функции управления. В рамках таких систем, например, топ-менеджеры имеют возможность анализировать и корректировать эти цифры и вносить свои новые данные. Системы позволяют им видеть и использовать отчетность смежных подразделений. Далее откорректированные и дополненные на нижнем уровне управления данные афишируются вновь до общекорпоративного уровня. Весь процесс двунаправленного планирования оперативно повторяется до тех пор, пока не будет составлен наиболее оптимальный план. ВРМ-системы позволяют составлять несколько версий плана (бюджета), так называемые гибкие сметы на разные объемы продаж с учетом возможных отрицательных или положительных незапланированных факторов. Так, в кризисные моменты есть возможность без промедления перевести организацию на аварийный бюджет. При этом времени на пересмотр, согласование всех статей бюджета в разрезе всех центров затрат и ответственности, естественно, не будет. Следует отметить, что основой для дальнейшего совершенствования ВРМ-систем является их методологическое и методическое аналитическое обеспечение.

Сформулированная математически задача экономического анализа может быть решена одним из разработанных математических методов. На рис. 1 представлена примерная схема основных математических методов, по которым ведутся работы, для использования их в анализе хозяйственной деятельности предприятий.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, балансовых расчетах и т.д. Выделение методов классической высшей математики на схеме обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например методов математической статистики и математического программирования, но и отдельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.

Широкое распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики и теории вероятностей. Эти методы применяются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс.

Статистические методы как основное средство изучения массовых, повторяющихся явлений играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы есть практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа. Для изучения одномерных статистических совокупностей используются вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный и факторный анализ.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии - экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа затраты - выпуск. Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные особенности матричных моделей. Это важно при создании систем автоматизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.

Математическое программирование - важный раздел современной прикладной математики. Методы математического (прежде всего линейного программирования служат основным средством решения задач; оптимизации хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т.п.

Под исследованием операций имеются в виду разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе хозяйственная деятельность предприятий. Цель - такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из структурных подразделений предприятия можно представить как объект системы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы моделирования и системного анализа.

В ряде случаев приходится находить решение экстремальных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явления. Такое решение отыскивается экспериментально. В последние годы в экономической науке усилился интерес к формализации методов эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию.

Эвристические методы - это неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т.д.

Для анализа хозяйственной деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В учебнике рассматриваются основные экономико-математические методы, получившие уже применение в практике экономического анализа. Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно-обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и не оптимизационные. Если метод или задача позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности, то этот метод относят в группу оптимизационных методов. В случае, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности, соответствующий метод относят к группе не оптимизационных методов.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. Если алгоритм метода позволяет получить только единственное решение по заданному критерию оптимальности или без него, то данный метод относят к группе точных методов. В случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, используемый метод относят к группе приближенных методов. К группе приближенных методов относят и такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.

Таким образом, используя только два признака классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы: 1) оптимизационные точные методы; 2) оптимизационные приближенные методы;

3) не оптимизационные точные методы; 4) не оптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся отдельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы.

К не оптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К не оптимизационным приближенным методам относятся метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

В схеме (см. рис. 1) были представлены укрупненные группы экономико-математических методов, отдельные методы из этих групп используются для решения различных задач как оптимизационных, так и не оптимизационных; как точных, так и приближенных. Большое значение в анализе хозяйственной деятельности имеет группировка методов (задач) балансовых и факторных.

Балансовые методы - это методы анализа структуры, пропорций, соотношений.

Экономический анализ - это, прежде всего факторный анализ (в широком смысле слова, а не только в виде стохастического факторного анализа).

Под экономическим факторным анализом понимаются постепенный переход от исходной факторной системы (результативный показатель) к конечной факторной системе (или наоборот), раскрытие полного набора прямых, количественно измеримых факторов, оказывающих влияние на изменение результатного показателя.

Рассмотрим примерную классификацию задач факторного анализа работы предприятий с точки зрения использования математических методов (рис. 2).

При прямом факторном анализе выявляются отдельные факторы, влияющие на изменение результатного показателя или процесса, устанавливаются формы детерминированной (функциональной) или стохастической зависимости между результатным показателем и определенным набором факторов и, наконец, выясняется роль отдельных факторов в изменении результатного экономического показателя. Постановка задачи прямого факторного анализа распространяется на детерминированный и стохастический случай.

Рис. 2 - Укрупненная схема классификации задач экономического факторного анализа

математический моделирование экономический аналитический

Задачи прямого детерминированного факторного анализа - наиболее распространенная группа задач в анализе хозяйственной деятельности.

Рассмотрим особенности постановки задачи прямого стохастического факторного анализа. Если в случае прямого детерминированного факторного анализа исходные данные для анализа имеются в форме конкретных чисел, то в случае прямого стохастического факторного анализа заданы выборкой (временной или поперечной). Решения задач стохастического факторного анализа требуют: глубокого экономического исследования для выявления основных факторов, влияющих на результатный показатель; подбора вида регрессии, который бы наилучшим образом отражал действительную связь изучаемого показателя с набором факторов; разработки метода, позволяющего определить влияние каждого фактора на результатный показатель.

Если результаты прямого детерминированного анализа должны получиться точными и однозначными, то стохастического - с некоторой вероятностью (надежностью), которую следует оценить.

Примером прямого стохастического факторного анализа является регрессионный анализ производительности труда и других экономических показателей.

В экономическом анализе, кроме задач, сводящихся к детали - зации показателя, к разбивке его на составляющие части, существует группа задач, где требуется увязать ряд экономических характеристик в комплексе, т.е. построить функцию, содержащую в себе основное качество всех рассматриваемых экономических показателей-аргументов, т.е. задач синтеза. В данном случае ставится обратная задача (относительно задачи прямого факторного анализа) - задача объединения ряда показателей в комплекс.

Задачи обратного факторного анализа могут быть детерминированными и стохастическими. Примерами задачи обратного детерминированного факторного анализа являются задачи комплексной оценки хозяйственной деятельности, а также задачи математического программирования, в том числе и линейного. Примером задачи обратного стохастического факторного анализа могут служить производственные функции, которыми устанавливаются зависимости между величиной выпуска продукции и затратами производственных факторов (первичных ресурсов). Для детального исследования экономических показателей или процессов необходимо проводить не только одноступенчатый, но и цепной факторный анализ: статический (пространственный) и динамический (пространственный и во времени).

Детализация факторов может быть продолжена и дальше. Закончив ее, решают обратную задачу факторного анализа, синтезируя результаты исследования для характеристики результатного показателя у. Такой метод исследования называется цепным статическим методом факторного анализа. При применении цепного динамического факторного анализа для полного изучения поведения результатного показателя недостаточно его статического значения; факторный анализ показателя проводится на различных интервалах дробления времени, на которых исследуется показатель.

Экономический факторный анализ может быть направлен на выяснение действия факторов, формирующих результаты хозяйственной деятельности, по различным источникам пространственного или временного происхождения.

Анализ динамических (временных) рядов показателей хозяйственной деятельности, расщепление уровня ряда на его составляющие (основную линию развития - тренд, сезонную, или периодическую, составляющую, циклическую составляющую, связанную с воспроизводственными явлениями, случайную составляющую) - задача временного факторного анализа.

Классификация задач факторного анализа упорядочивает постановку многих экономических задач, позволяет выявить общие закономерности в их решении. При исследовании сложных экономических процессов возможна комбинация постановки задач, если последние не относятся целиком к какому-либо типу, указанному в классификации.