Сложение вероятностей независимых событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Лекция для студентов землеустроительного факультета
заочной формы обучения
Горки, 2012
Сложение и умножение вероятностей. Повторные
независимые испытания
Сложение вероятностей
Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.
Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.
Из данной теоремы следует:
сумма
вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице;
сумма
вероятностей противоположных событий
равна единице, т.е.
.
Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?
Решение . Обозначим события:
A ={извлечён цветной шар};
B ={извлечён белый шар};
C ={извлечён красный шар};
D ={извлечён синий шар}.
Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .
Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?
Решение . Обозначим события:
A ={вынуты шары одного цвета};
B ={вынуты шары белого цвета};
C ={вынуты шары чёрного цвета}.
Так
как A
=
B
+
C
и события В
и С
несовместны, то по теореме сложения
вероятностей несовместных событий
.
Вероятность событияВ
равна
,
где
4,
.
Подставим k
и n
в формулу и получим
Аналогично
найдём вероятность событияС
:
,
где
,
,
т.е.
.
Тогда
.
Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.
Решение . Обозначим события:
A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};
B ={среди вынутых карт три туза};
C ={среди вынутых карт четыре туза}.
Так
как A
=
B
+
C
,
а события В
и С
несовместны, то
.
Найдём вероятности событийВ
и С
:
,
.
Следовательно, вероятность того, что
среди вынутых карт не менее трёх тузов,
равна
0.0022.
Умножение вероятностей
Произведением
двух событий А
и В
называется событие С
,
состоящее в совместном наступлении
этих событий:
.
Это определение распространяется на
любое конечное число событий.
Два
события называются независимыми
,
если вероятность наступления одного
из них не зависит от того, произошло
другое событие или нет. События
,
,
… ,
называютсянезависимыми
в совокупности
,
если вероятность наступления каждого
из них не зависит от того, произошли или
не произошли другие события.
Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:
A ={первый стрелок попал в цель};
B ={второй стрелок попал в цель}.
Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.
Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .
Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .
Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.
Решение . Обозначим события:
A
B
C ={оба стрелка попадут в цель}.
Так
как
,
а событияА
и В
независимы, то
,
т.е..
События
А
и В
называются зависимыми
,
если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло другое
событие или нет. Вероятность наступления
события А
при условии, что событие В
уже наступило, называется условной
вероятностью
и обозначается
или
.
Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:
A ={извлечён белый шар} ;
B ={извлечён чёрный шар}.
Перед
началом извлечения шаров из урны
.
Из урны извлекли один шар и он оказался
чёрным. Тогда вероятность событияА
после наступления события В
будет уже другой, равной
.
Это означает, что вероятность событияА
зависит от события В
,
т.е. эти события будут зависимыми.
Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т.е. или.
Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.
Решение . Обозначим события:
A ={первым извлечён чёрный шар};
B ={вторым извлечён чёрный шар}.
События
А
и В
зависимы, так как
,
а
.
Тогда
.
Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
Решение . Обозначим события:
A ={произойдут два попадания в цель};
B ={первый стрелок попадёт в цель};
C ={второй стрелок попадёт в цель};
D ={третий стрелок попадёт в цель};
={первый
стрелок не попадёт в цель};
={второй
стрелок не попадёт в цель};
={третий
стрелок не попадёт в цель}.
По
условию примера
,
,
,
,
,
.
Так как,
то используя теорему сложения вероятностей
несовместных событий и теорему умножения
вероятностей независимых событий,
получим:
Пусть
события
образуют полную группу событий некоторого
испытания, а событииА
может наступить только с одним из этих
событий. Если известны вероятности
и условные вероятностисобытияА
,
то вероятность события А вычисляется
по формуле:
или
.
Эта формула называетсяформулой
полной вероятности
,
а события
гипотезами
.
Пример
9
.
На сборочный конвейер поступает 700
деталей с первого станка и 300 деталей 
со второго. Первый станок даёт 0.5% брака,
а второй – 0.7%. Найти вероятность того,
что взятая деталь будет бракованной.
Решение . Обозначим события:
A ={взятая деталь будет бракованной};
={деталь
изготовлена на первом станке};
={деталь
изготовлена на втором станке}.
Вероятность
того, что деталь изготовлена на первом
станке, равна
.
Для второго станка
.
По условию вероятность получения
бракованной детали, изготовленной на
первом станке, равна
.
Для второго станка эта вероятность
равна
.
Тогда вероятность того, что взятая
деталь будет бракованной, вычисляется
по формуле полной вероятности
Если
известно, что в результате испытания
наступило некоторое событие А
,
то вероятность того, что это событие
наступило с гипотезой
,
равна
,
где
-
полная вероятность событияА
.
Эта формула называется формулой
Байеса
и позволяет вычислять вероятности
событий
после того, как стало известно, что
событиеА
уже наступило.
Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.
Решение . Обозначим события:
A ={куплена стандартная деталь};
={деталь
изготовлена на первом заводе};
={деталь
изготовлена на втором заводе}.
По
условию примера
,
,
и
.
Вычислим полную вероятность событияА
:
0.91.
Вероятность того, что деталь изготовлена
на втором заводе, вычислим по формуле
Байеса:
.
Задания для самостоятельной работы
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.
В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.
На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.
Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.
Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.
Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.
Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.
На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.
В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.
На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% - со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.
Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .
Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.
Формула Бернулли
Испытания
называются независимыми
,
если при каждом из них событие А
наступает с одной и той же вероятностью
,
не зависящей от того, появилось или не
появилось это событие в других испытаниях.
Вероятность противоположного события
в этом случае равна
.
Пример
11
.
Бросается игральный кубик n
раз. Обозначим событие A
={выпадение
трёх очков}. Вероятность наступления
события А
в каждом испытании равна
и не зависит от того, произошло или не
произошло это событие в других испытаниях.
Поэтому эти испытания являются
независимыми. Вероятность противоположного
события
{не
выпадение трёх очков} равна
.
Вероятность
того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность наступления события
А
равна p
,
событие наступит ровно k
раз (безразлично в какой последовательности),
вычисляется по формуле
,
где
.
Эта формула называетсяформулой
Бернулли
и удобна она в том случае, если число
испытаний n
не слишком велико.
Пример 12 . Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.
Решение . По условию примера .
а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна
0.132.
б) Обозначим событие A ={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:
0.297.
Следовательно,
0.178+0.356+0.297=0.831.
Теоремы Лапласа и Пуассона
По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.
Локальная теорема Лапласа . Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле
,
где
,
а значения функции
приведены
в таблице.
Основными
свойствами функции
являются:
Функция
определена и непрерывна в интервале
.
Функция
положительна, т.е.
>0.
Функция
чётная, т.е.
.
Так
как функция
чётная, то в таблице приведены её значения
только для положительных значенийх
.
Пример 13 . Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.
Решение
.
По условию примера n
=100,
k
=90,
p
=0.8,
q
=1-0.8=0.2.
Тогда
.
По таблице найдём значение функции
:
.
Вероятность того, что из отобранных
семян взойдут ровно 90, равна
0.0044.
При
решении практических задач возникает
необходимость найти вероятность
наступления события А
при n
независимых испытаниях не менее
раз и не более
раз. Такая задача решается с помощьюинтегральной
теоремы Лапласа
:
Пусть вероятность p
наступления события А
в каждом из n
независимых испытаний постоянна и
отлична от нуля и единицы. Тогда
вероятность того, что событие наступит
не менее
раз и не более
раз при достаточно большом числе
испытаний, вычисляется по формуле
Где
,
.
Функция
называетсяфункцией
Лапласа
и не выражается через элементарные
функции. Значения этой функции приведены
в специальных таблицах.
Основными
свойствами функции
являются:
.
Функция
возрастает
в интервале
.
при
.
Функция
нечётная,
т.е.
.
Пример 14 . Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.
Решение
.
Обозначим
.
Вычислим
,
В случаях, когда интересующее событие является суммой других событий, для нахождения его вероятности используется формула сложения.
Формула сложения имеет две основные разновидности – для совместных и для несовместных событий. Обосновать эти формулы можно, используя диаграммы Венна (рис. 21). Напомним, что на этих диаграммах вероятности событий численно равны площадям соответствующих этим событиям зон.
Для двух несовместных событий :
Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (8, а)
Для N несовместных событий , вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
= .(8б)
Из формулы сложения несовместных событий имеются два важных следствия.
Следствие 1. Для событий, образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице:
= 1.
Это объясняется следующим. Для событий, образующих полную группу, в левой части выражения (8б) находится вероятность того, что произойдёт одно из событий А i , но так как полная группа исчерпывает весь перечень возможных событий, то одно из таких событий произойдёт обязательно. Таким образом, в левой части записана вероятность события, которое обязательно произойдёт – достоверного события. Вероятность его равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице :
Р(А) + Р(Ā) = 1.
Это следствие вытекает из предыдущего, так как противоположные события всегда образуют полную группу.
Пример 15
В ероятность работоспособного состояния технического устройства равна 0,8. Найти вероятность отказа этого устройства за тот же период наблюдений.
Решение.
Важное замечание . В теории надёжности принято вероятность работоспособного состояния обозначать буквой р , а вероятность отказа - буквой q. В дальнейшем будем использовать эти обозначения. Как та, так и другая вероятности являются функциями времени. Так, для больших периодов времени вероятность работоспособного состояния любого объекта приближается к нулю. Вероятность отказа любого объекта близка к нулю для малых периодов времени. В тех случаях, когда период наблюдения в задачах не указан, подразумевается, что он одинаков для всех рассматриваемых объектов.
Нахождение устройства в состояниях работоспособности и отказа – противоположные события. Пользуясь следствием 2, получим вероятность отказа устройства:
q = 1 – р = 1 – 0,8 = 0,2.
Для двух совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ), (9)
что иллюстрирует диаграмма Венна (рис. 22).
Действительно, чтобы найти всю заштрихованную площадь (она соответствует сумме событий А + В), нужно из суммы площадей фигур А и В вычесть площадь общей зоны (она соответствует произведению событий АВ), так как иначе она будет учтена дважды.
Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняется:
Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС). (10)
На диаграмме Венна (рис. 23) искомая вероятность численно равна общей площади зоны, образованной событиями А, В и С (для упрощения рисунка единичный квадрат на нем не показан).
После того, как из суммы площадей зон А, В и С вычтены площади зон АВ, АС и СВ получилось, что площадь зоны АВС была просуммирована трижды и трижды вычтена. Поэтому для учета этой площади она должна быть добавлена в окончательное выражение.
При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.
В итоге следует подчеркнуть: формула сложения вероятностей совместных событий при количестве слагаемых от трех и более громоздка и неудобна к применению, использование ее при решении задач нецелесообразно .
Пример 16
Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 24) определить вероятность отказа системы в целом Q С по вероятностям отказа q i отдельных элементов (генератора, трансформаторов и линии).
Состояния отказа
отдельных элементов системы электроснабжения, так же как и состояния работоспособности, всегда являются попарно совместными событиями
, так как нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы одновременно производился ремонт, например, линии и трансформатора. Отказ системы наступает при отказе любого её элемента: или генератора, или 1-го трансформатора, или линии, или 2-го трансформатора, или при отказе любой пары, любой тройки или всех четырёх элементов. Следовательно, искомое событие – отказ системы является суммой отказов отдельных элементов. Для решения задачи может быть использована формула сложения совместных событий:
Q с = q г + q т1 + q л + q т2 – q г q т1 – q г q л – q г q т2 – q т1 q л – q т1 q т2 – q л q т2 + q г q т1 q л + q г q л q т2 + q г q т1 q т2 + q т1 q т2 q л – q г q т1 q л q т2.
Это решение ещё раз убеждает в громоздкости формулы сложения для совместных событий. В дальнейшем будет рассмотрен другой более рациональный способ решения данной задачи.
Полученное выше решение может быть упрощено с учётом того, что вероятности отказов отдельных элементов системы электроснабжения для применяемого обычно в расчётах надежности периода в один год достаточно малы (порядка 10 -2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, что практически не повлияет на численный результат. Тогда можно записать:
Q с ≈q г + q т1 + q л + q т2 .
Однако к подобным упрощениям надо относится осторожно, внимательно изучая их последствия, так как часто отбрасываемые слагаемые могут оказаться соизмеримыми с первыми.
Пример 17
Определить вероятность работоспособного состояния системы Р С , состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.
Решение . Резервирующие друг друга элементы на логической схеме анализа надёжности изображаются соединенными параллельно (рис. 25):
Резервированная система работоспособна, когда работоспособен или 1-й, или 2-й, или 3-й элемент, или работоспособна любая пара, или все три элемента совместно. Следовательно, работоспособное состояние системы есть сумма работоспособных состояний отдельных элементов. По формуле сложения для совместных событий Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3 . , где Р 1 , Р 2 и Р 3 – вероятности работоспособного состояния элементов 1, 2 и 3 соответственно.
В данном случае упрощать решение, отбрасывая по парные произведения нельзя, поскольку такое приближение даст значительную погрешность (эти произведения обычно числено близки к первым трём слагаемым). Как и в примере 16, эта задача имеет другое более компактное решение.
Пример 18
Для двухцепной линии электропередачи (рис. 26) известна вероятность отказа каждой цепи: q 1 = q 2
= 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R 100), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R 50), и вероятность того, что система откажет – Q.
Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:
Р(100%) = р 1 р 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =
= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.
Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:
Р(0%) = q 1 q 2 =0,001∙0,001 = 10 -6 .
Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:
Р(50%)= р 1 q 2 + р 2 q 1 = 2∙0,999∙10 -3 = 0,001998.
В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.
События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.
Лекция 7. Теория вероятностей
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.
Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.
Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем:
Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
Р(А) = Р(А ) + Р(АВ).
Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**)
Аналогично имеем
Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ).
Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)
Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****)
Что и требовалось доказать.
Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми .
Для независимых событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В);
Для зависимых событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В).
Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.
Формула (****) для несовместных событий принимает вид
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.
Пример 2.
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
(из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.
Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)
Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.
Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2
В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:
q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;
q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна
P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.
Как и следовало ожидать, получен тот же результат.
