Действия с неравенствами примеры. Основные свойства неравенств

Например, неравенством является выражение \(x>5\).

Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:


\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным .

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной .

Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \)) или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.

Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что

1) любое положительное число больше нуля;

2) любое отрицательное число меньше нуля;

3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.

Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.

Неравенства обладают следующими основными свойствами.

1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.

Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.

2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность

Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.

Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.

3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.

Это равенство можно переписать так:

Из этого следует, что разность положительна, т. е. что

а это и надо было доказать.

На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства

следует, что

4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.

Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .

Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.

5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь

В частности, если где -натуральное число, то получим

т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.

Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.

Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!

Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.

Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.

а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;

в) в степень 3; г) в степень 2;

д) в степень 5; е) в степень 4;

ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,

6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:

Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство

т. е. , что и требовалось получить.

Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.

Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:

7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).

Пусть . Тогда при будет

а при будет

Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при

Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.

8. Если , то если , но , то .

Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если

При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства

По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.

Группируя иначе слагаемые, получим

и, следовательно,

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.

10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.

Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство

того же смысла. Из последнего находим

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.